Теорема Нагумо
Теорема Нагу́мо — теорема существования решения краевой задачи первого рода для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, разрешённого относительно старшей производной. Принадлежит японскому математику Ми́тио Нагумо[1]. Является одной из теорем метода дифференциальных неравенств.
Формулировка теоремы
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение второго порядка с краевыми условиями первого рода:
| [math]\displaystyle{ y'' = f(x,y,y'), \quad x \in (a,b), }[/math] | (1.1) |
| [math]\displaystyle{ y(a) = y^a, \quad y(b) = y^b. }[/math] | (1.2) |
Чтобы сформулировать теорему Нагумо для задачи (1.1—1.2), нам понадобится ряд определений.
Пусть функция [math]\displaystyle{ f(x,y,z) }[/math] определена при всех [math]\displaystyle{ (x,y,z) \in \mathfrak B \times \mathbb R }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathfrak B \subset \mathbb R^2 }[/math].
Определение. Будем говорить, что функция [math]\displaystyle{ f(x,y,z) }[/math] принадлежит классу функций Нагумо[2] на множестве [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math] и писать [math]\displaystyle{ f \in N(\mathfrak B) }[/math], если найдётся такая положительная непрерывная функция [math]\displaystyle{ \varphi(u) }[/math], что
| [math]\displaystyle{ 1)\ \forall (x,y,z) \in \mathfrak B \times \mathbb R \Rightarrow |f(x,y,z)| \leqslant \varphi(|z|), }[/math] | (2.1) |
| [math]\displaystyle{ 2)\ \int_0^\infty \frac{u\, du}{\varphi(u)} = + \infty. }[/math] | (2.2) |
Определение. Нижним и верхним (барьерными) решениями задачи (1.1—1.2) называются соответственно функции [math]\displaystyle{ \underline \omega(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline \omega(x) }[/math], принадлежащие [math]\displaystyle{ C^2(a,b) \cap C[a,b] }[/math], и такие, что
| [math]\displaystyle{ 1) \begin{array}{c} \underline \omega(a) \lt y^a \lt \overline \omega(a), \\[.5ex] \underline \omega(b) \lt y^b \lt \overline \omega(b); \end{array} }[/math] | (3.1) |
| [math]\displaystyle{ 2) \begin{array}{c} \underline \omega''(x) \gt f(x, \underline \omega(x), \underline \omega'(x)), \\[.5ex] \overline \omega''(x) \lt f(x, \overline \omega(x), \overline \omega'(x)), \end{array} \ \forall x \in (a,b). }[/math] | (3.2) |
Определение. Классическим решением задачи (1.1—1.2) называется функция [math]\displaystyle{ y(x) }[/math], принадлежащая [math]\displaystyle{ C^2(a,b) \cap C[a,b] }[/math] и удовлетворяющая уравнению (1.1) при каждом [math]\displaystyle{ x \in (a,b) }[/math] и каждому из граничных условий (1.2).
Теорема (Нагумо). Пусть существуют такие нижнее [math]\displaystyle{ \underline \omega(x) }[/math] и верхнее [math]\displaystyle{ \overline \omega(x) }[/math] решения задачи (1.1—1.2), что
| [math]\displaystyle{ 1)\ \forall x \in [a,b] \Rightarrow \underline \omega(x) \lt \overline \omega(x), }[/math] | (4.1) |
| [math]\displaystyle{ 2)\ f(x,y,z) \in C^{0,1,1}(\mathfrak B \times \mathbb R) \cap N(\mathfrak B), }[/math] | (4.2) |
где [math]\displaystyle{ \mathfrak B \equiv [a,b] \times [\underline \omega(x), \overline \omega(x)] }[/math]. Тогда существует по крайней мере одно классическое решение [math]\displaystyle{ y(x) }[/math] задачи (1.1—1.2), принадлежащее [math]\displaystyle{ C^2[a,b] }[/math] и заключённое между барьерными решениями [math]\displaystyle{ \underline \omega(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \overline \omega(x) }[/math]:
| [math]\displaystyle{ \forall x \in [a,b] \Rightarrow \underline \omega(x) \lt y(x) \lt \overline \omega(x). }[/math] | (4.3) |
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы Нагумо опирается на метод стрельбы и использует следующие леммы.
Лемма 1. Пусть [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math] — замкнутая ограниченная область на плоскости [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math] и пусть [math]\displaystyle{ f(x,y,z) \in C(\mathfrak B \times \mathbb R) \cap N(\mathfrak B) }[/math]. Тогда любая интегральная кривая уравнения (1.1), проходящая через внутреннюю точку области [math]\displaystyle{ \mathfrak B }[/math], может быть продолжена в обе стороны до границы этой области.
 | Этот раздел не завершён. |
См. также
Примечания
Литература
- Nagumo M. Über die differenzialgleichung [math]\displaystyle{ y'' = f(x,y,y') }[/math] (нем.) // Proceedings of the Physico-Mathematical Society of Japan. 3rd Series. — 1937. — Bd. 19, Nr. 10. — S. 861—866. — ISSN 0370—1239.
- Hartman Ph. On Boundary Value Problems for Systems of Ordinary, Nonlinear, Second Order Differential Equations (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 1960. — Vol. 96, no. 3. — P. 493—509. — ISSN 0002—9947.
- Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations (англ.) // Journal of the Faculty of Science, the University of Tokyo. Section 1, Mathematics, astronomy, physics, chemistry. — 1965. — Vol. 12. — P. 17—43. — ISSN 0368—2269.
- Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, II (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1967. — Vol. 10, no. 2 (September). — P. 145—162. — ISSN 0532—8721.
- Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, III (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1968. — Vol. 11, no. 2 (November). — P. 111—129. — ISSN 0532—8721.
- Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, IV (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1969. — Vol. 11, no. 3 (February). — P. 185—195. — ISSN 0532—8721.
- Akô K. Subfunctions for ordinary differential equations, V (англ.) // Funkcialaj Ekvacioj (International Series). — 1970. — Vol. 12, no. 3 (February). — P. 239—249. — ISSN 0532—8721.
- Jackson L. K. A Nagumo condition for ordinary differential equations (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society. — 1976. — Vol. 57, no. 1. — P. 93—96. — ISSN 0002-9939.
- Grossinho M. do Rosário, Minhós F., Santos A. I. Higher order nonlinear two‐point boundary value problems with sign‐type Nagumo condition (англ.) // Mathematical Models in Engineering, Biology and Medicine: International Conference on Boundary Value Problems: Mathematical Models in Engineering, Biology and Medicine (AIP Conference Proceedings) / Editors: Alberto Cabada, Eduardo Liz, Juan J. Nieto. — Melville, N. Y.: AIP, 2009. — Vol. 1124. — P. 195—204. — ISBN 978-0-7354-0660-5. — ISSN 0094-243X. — doi:10.1063/1.3142933. (недоступная ссылка)
- Bailey P.B., Shampine L.F., Waltman P.E. Chapter 6. Principal Existence Theorems, Chapter 7. Further Existence and Uniqueness Results // Nonlinear Two Point Boundary Value Problems. — 1st Edition. — 111 Fifth Avenue, N. Y.: Academic Press Inc., 1968. — Vol. 44. — 172 p. — (Series Mathematics in Science and Engineering). — ISBN 978-0-12-073350-7.